ANÁLISE COMBINATÓRIA- Fatorial

Quantos números distintos com cinco algarismos podem ser formados usando as fichas abaixo?

 3 7 9 1 8

Como já vimos anteriormente = 5.4.3.2.1=120 números.

Esse tipo de cálculo surge com frequência em problemas envolvendo análise combinatória, e, para representá-lo, utilizamos fatorial, cuja notação é n! , que se lê: fatorial de n.

Como no exemplo acima: 5!=5.4.3.2.1=120.

Definição:

Seja n um número natural, com n>1, definimos seu fatorial, indicado por n! , como o produto dos n números naturais consecutivos de n até 1.

n! =n. (n-1).(n-2)....3.2.1

Sendo que 1!=1 e 0!=1.

Exemplos:

2!=2.1=2

4!=4.3.2.1=24

Propriedade fundamental dos fatoriais

Observando a igualdade 7!=7.6.5.4.3.2.1, percebemos que 7!=7.6!

Podemos generalizar esse resultado pela seguinte propriedade:

n!= n.(n-1)!

Exemplos:

9!=9.8!

3!=3.2!

Exemplos:

Simplifique a fração:

   n!     =20   => n. (n-1)(n-2)!   =>  n²-n -20=0 => n’= -4(inválido não é N) e  n’’=5
(n-2)!                    (n-2)!


.Logo a solução é ,S={5}.

Exercícios:

1-Simplificar as frações

a) 8!/6! b)3!/5!

c)7!.9!/8!.5! d) 6!/3!

e)n!/(n-1)! f)(n-3)!/(n-5)!

2-Calcule:

a) 4!+3!

b) 7!

c) 3!.2!

d) 6!

e) 0!/1!

3-Resolva 

a)n!/(n-2)!

b)(n-2)!/(n+1)!

c)n!=15(n-1)!

d)(n+1)!/(n-1)!=20